Cochet est né à Sanvic près du Havre le 7 mars 1812, il était le fils d'un soldat de l'Empire qui fut nommé garde-côte à Étretat en 1814, ville où il passe son enfance. C'est à 18 ans qu'il se prend de passion pour l'archéologie lorsque les restes d'une villa gallo-romaine sont découverts à Étretat. La recherche des antiquités n'en est qu'à ses débuts en Seine-Inférieure, la commission départementale des antiquités n'existe que depuis 1818, mais déjà Cochet est nommé correspondant de cette commission à la suite de rapports sur les fouilles d'Étretat.

      Son parcours ecclésiastique n'arrête pas son engouement pour l'archéologie, il est ordonné prêtre en 1836 et six ans plus tard il est reçu à l'académie de Rouen, puis nommé inspecteur des monuments historiques pour le département de la Seine-Inférieure en 1849. Enfin, il est nommé conservateur du Musée des Antiquités de Rouen.



Pour les scientifiques de son époque, il est un archéologue de terrain. Il insiste sur la nécessité de surveiller le travail de ces ouvriers pour ne manquer aucun détail, mais également d'examiner les objets en place dans leur contexte originel, avant qu'ils ne deviennent des pièces de musées ; il appuie aussi l'idée d'un décapage fin lorsque l'on arrive à la couche antique et celle de dessiner chaque objet. Les fouilles qu'il entreprend sont généralement issues de trouvailles fortuites, fouilles qui étaient dépendantes de la décision du propriétaire du terrain et du financement de quelques mécènes locaux. Cependant, son archéologie de terrain semble plutôt se restreindre à de sporadiques apparitions sur le chantier où s'activent des ouvriers. De même, tout en accordant une importance à une fouille minutieuse, il fait peu de cas de la stratigraphie, ce qui explique une fouille rapide de ses chantiers d'autant plus que ses équipes de fouilleurs étaient réduites. Il apparaît donc comme un médiocre fouilleur.